Honeycombs from Hermitian Matrix Pairs, with Interpretations of Path Operators and S Ln Crystals

Knutson and Tao’s work on the Horn conjectures used combinatorial invariants called hives and honeycombs to relate spectra of sums of Hermitian matrices to Littlewood-Richardson coefficients and problems in representation theory, but these relationships remained implicit. Here, let M and N be two n× n Hermitian matrices. We will show how to determine a hive H(M,N) = {Hi jk} using linear algebra constructions from this matrix pair. With this construction, one may also define an explicit Littlewood-Richardson filling (enumerated by the Littlewood-Richardson coefficient cμν associated to the matrix pair). We then relate rotations of orthonormal bases of eigenvectors of M and N to deformations of honeycombs (and hives), which we interpret in terms of the structure of crystal graphs and Littelmann’s path operators. We find that the crystal structure is determined more simply from the perspective of rotations than that of path operators. Résumé. Le travail de Knutson et Tao sur les conjectures de Horn utilisés invariants combinatoires appelé ruches et nids d’abeilles de trait spectres des sommes de matrices hermitiennes de Littlewood Richardson coefficients et les problèmes de la théorie de la représentation, mais ces relations demeurent implicites. Ici, laissez M et N etre deux n × n matrices hermitiennes. Nous allons montrer comment déterminer un ruche H(M,N) = {Hi jk} utilisant constructions d’algébre linéaire de cette paire de matrices. Avec cette construction, on peut également définir une explicite de remplissage LittlewoodRichardson (énumérés par la Littlewood -Richardson coefficient cμν associé á la matrice paire) . Nous rapportons ensuite des rotations de bases orthonormées de vecteurs propres de M et N á des déformations de nids d’abeilles (et ruches), que nous interprétons en fonction de la structure des graphes en cristal et des exploitants de chemins de Littelmann. On retrouve que la structure de cristal est déterminée plus simple du point de vue de la rotation que celle des opérateurs de chemin. Mots-clés: matrices hermitiennes, nids d’abeilles, des graphiques cristal.